Cette journée thématique a pour but de présenter des travaux récents de modélisation et d'analyse mathématique, tant théorique que numérique, autour de la mécanique des fluides. Cette rencontre s'inscrit dans le cadre du groupe de travail HYPERBO de l'I2M.

La journée se déroulera le mardi 13 décembre 2022 sur le site du campus Saint Charles, salle de séminaire au 2e étage de la FRUMAM (voir plan campus St Charles), d'Aix-Marseille Université.

Afin d'organiser au mieux, le buffet merci de répondre à l'evento pour prendre part au déjeuner du midi.

• Noemi David (ICJ, Lyon)
• Jean-Luc Guermond (Texas A&M University)
• Samuel Kokh (CEA Saclay)
• Nicolas Seguin (INRIA, Montpellier)

9h30 Accueil café

10h Samuel Kokh

11h15 Noemi David

12h30 Buffet

14h Nicolas Seguin

15h15 Jean-Luc Guermond

Noemi David: Incompressible limit and rate of convergence for tumor growth models with drift

Both compressible and incompressible porous medium models have been used in the literature to describe the mechanical aspects of living tissues. Using a stiff pressure law, it is possible to build a link between these two different representations. In the incompressible limit, compressible models generate free boundary problems of Hele-Shaw type where saturation holds in the moving domain. In this talk, I will present the study of the incompressible limit for advection-porous medium equations motivated by tumor development. The derivation of the pressure equation in the stiff limit was an open problem for which the strong compactness of the pressure gradient is needed. To establish it, we use two new ideas: an L3 -version of the celebrated Aronson-Bénilan estimate and a sharp uniform L4 -bound on the pressure gradient. Moreover, we provide an estimate of the convergence rate at the incompressible limit in a Sobolev negative norm.

Jean-Luc Guermond : Invariant-domain preserving high-order implicit explicit time stepping for nonlinear conservation equations

We consider high-order discretizations of a Cauchy problem where the evolution operator comprises a hyperbolic part and a parabolic part with diffusion and stiff relaxation terms.  Assuming that this problem admits non-trivial invariant domains, in the talk we discuss approximation techniques in time that preserve these invariant domains. Before going into the details, we are going to give an overview of the literature on the topic.  Emphasis will be put on explicit and explicit Runge Kutta techniques using Butcher's formalism. Then we are going to describe techniques that make every implicit-explicit time stepping scheme invariant-domain preserving and mass conservative. The proposed methodology is agnostic to the space discretization and allows to optimize the time step restrictions induced by the hyperbolic sub-step.

Samuel Kokh : Une utilisation du principe de Hamilton pour la dérivation de modèles diphasiques

Nicolas Seguin : Stabilité de méthodes de différences finies pour l'équation de transport avec bord

Lorsque l'on discrétise l'équation de transport sur un domaine borné par une méthode de différences finies, il faut généralement utiliser des points fictifs à l'extérieur du domaine. C'est par exemple le cas lorsque l'on cherche à préserver l'ordre d'un schéma numérique avec la méthode de Lax-Wendroff inverse proposée par Chi-Wang Shu et ses co-auteurs. Néanmoins, cela influe sur le schéma numérique et sa stabilité globale. On propose une méthode d'analyse de stabilité applicable aux schémas à un pas en temps, décentrés ou pas. Celle-ci repose notamment sur une visualisation de la courbe du déterminant de Kreiss–Lopatinskii. Ce travail est réalisé en collaboration avec Pierre Le Barbenchon et Benjamin Boutin.